ישר מאונך למישור – אלכסון הקובייהוקטורים 472 · שיעור 19

וקטורים · שאלון 472

שיעור 19: ישר מאונך למישור – אלכסון הקובייה

פרק 4 – ישר מאונך למישור, גובה ונפח

1נוסח השאלה

2סעיף א – הבעת הווקטורים

3סעיף ב – המכפלות הסקלריות

4סעיף ג – AC′ מאונך למישור A′BD

5סעיף ד – אורך האלכסון

6סעיף ה – נפח הפירמידה A′ABD

📄 נוסח השאלה

בסרטוט קובייה ABCDA′B′C′D′ שאורך המקצוע שלה 2. נסמן: AB = u , AD = v , AA′ = w.

א. הביעו באמצעות u , v ו־w את הווקטורים AC′ , A′B , BD.

ב. חשבו את המכפלות הסקלריות u · v , u · w , v · w , u · u.

ג. הוכיחו כי האלכסון AC′ מאונך למישור A′BD.

ד. חשבו את אורך האלכסון AC′.

📄 נוסח השאלה · המשך

ה. חשבו את נפח הפירמידה A′ABD.

סעיף א – הבעת הווקטורים

AC′ = AB + BC + CC′

📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)

נציב AB = u , BC = AD = v , CC′ = AA′ = w:

AC′ = u + v + w

הולכים מ־A′ למטה ל־A ואז ל־B. A′A = −w:

A′B = A′A + AB

📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)

נציב A′A = −w , AB = u:

📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)

XY + YZ = XZ

📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)

XY + YZ = XZ

סעיף א – הבעת הווקטורים · המשך

נציב A′A = −w , AB = u:

A′B = −w + u

BD = BA + AD

📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)

נציב BA = −u , AD = v:

BD = −u + v

✅ פתרון סופי: AC′ = u + v + w , A′B = u − w , BD = v − u

📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)

XY + YZ = XZ

סעיף ב – המכפלות הסקלריות

בקובייה כל שני מקצועות שיוצאים מאותו קודקוד מאונכים זה לזה, ולכן:

u · v = 0 , u · w = 0 , v · w = 0

📐 וקטורים מאונכים

u · u = |u|²

📐 ריבוע של וקטור

נציב |u| = 2:

u · u = 2² = 4

גם |v|² = |w|² = 4 (כל המקצועות באורך 2).

📐 וקטורים מאונכים

a ⊥ b ⟺ a · b = 0

📐 ריבוע של וקטור

a · a = |a|²

סעיף ב – המכפלות הסקלריות · המשך

גם |v|² = |w|² = 4 (כל המקצועות באורך 2).

✅ פתרון סופי: 0 , 0 , 0 , 4

סעיף ג – AC′ מאונך למישור A′BD

כדי להוכיח שישר מאונך למישור, מראים שהוא מאונך לשני ישרים נחתכים במישור. בוחרים את A′B ואת BD (נחתכים ב־B).

📐 ישר מאונך למישור (תנאי מספיק)

נציב AC′ = u + v + w , A′B = u − w (סעיף א):

AC′ · A′B = (u + v + w) · (u − w)

AC′ · A′B = |u|² − u · w + v · u − v · w + w · u − |w|²

המכפלות u · w , v · u , v · w , w · u שוות 0 כי הווקטורים מאונכים (סעיף ב), ולכן נשארים:

AC′ · A′B = |u|² − |w|²

📐 ישר מאונך למישור (תנאי מספיק)

ישר שמאונך לשני ישרים נחתכים במישור – מאונך למישור

סעיף ג – AC′ מאונך למישור A′BD · המשך

AC′ · A′B = |u|² − |w|²

נציב |u|² = |w|² = 4:

AC′ · A′B = 4 − 4 = 0

📐 וקטורים מאונכים

נציב BD = v − u (סעיף א):

AC′ · BD = (u + v + w) · (v − u)

AC′ · BD = u · v − |u|² + |v|² − v · u + w · v − w · u

📐 וקטורים מאונכים

a ⊥ b ⟺ a · b = 0

סעיף ג – AC′ מאונך למישור A′BD · המשך

AC′ · BD = u · v − |u|² + |v|² − v · u + w · v − w · u

המכפלות u · v , v · u , w · v , w · u שוות 0 כי הווקטורים מאונכים (סעיף ב), ולכן נשארים:

AC′ · BD = −|u|² + |v|²

נציב |u|² = |v|² = 4:

AC′ · BD = −4 + 4 = 0

AC′ מאונך ל־A′B ול־BD, שני ישרים נחתכים במישור A′BD, ולכן הוא מאונך למישור.

סעיף ג – AC′ מאונך למישור A′BD · המשך

AC′ מאונך ל־A′B ול־BD, שני ישרים נחתכים במישור A′BD, ולכן הוא מאונך למישור.

✅ פתרון סופי: הוכח: AC′ ⊥ A′BD

סעיף ד – אורך האלכסון

|AC′|² = (u + v + w) · (u + v + w)

📐 ריבוע של וקטור

|AC′|² = |u|² + |v|² + |w|² + 2u · v + 2u · w + 2v · w

המכפלות u · v , u · w , v · w שוות 0 כי הווקטורים מאונכים (סעיף ב), ולכן נשארים:

|AC′|² = |u|² + |v|² + |w|²

נציב |u|² = |v|² = |w|² = 4:

|AC′|² = 4 + 4 + 4 = 12

📐 ריבוע של וקטור

a · a = |a|²

סעיף ד – אורך האלכסון · המשך

|AC′|² = 4 + 4 + 4 = 12

|AC′| = √12 = 2√3 ≈ 3.46

✅ פתרון סופי: AC′ = 2√3 ≈ 3.46

סעיף ה – נפח הפירמידה A′ABD

בסיס הפירמידה: המשולש ABD (חצי מהריבוע ABCD), ישר־זווית ב־A:

S_ABD = AB · AD2

נציב AB = AD = 2:

S_ABD = 2 · 22 = 2

הגובה: AA′ מאונך לבסיס הקובייה, ולכן h = AA′ = 2.

V = S_ABD · h3

📐 נפח פירמידה

V = S_בסיס · h3

סעיף ה – נפח הפירמידה A′ABD · המשך

V = S_ABD · h3

📐 נפח פירמידה

נציב S_ABD = 2 , h = 2:

V = 2 · 23 = 43 ≈ 1.33

✅ פתרון סופי: V = 43 ≈ 1.33 יחידות נפח

📐 נפח פירמידה

V = S_בסיס · h3

📌 סיכום התשובות

סעיף א

AC′ = u + v + w
A′B = u − w
BD = v − u

סעיף ב

0 , 0 , 0 , 4

סעיף ג

הוכח

סעיף ד

2√3 ≈ 3.46

סעיף ה

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא